Fue uno de los ciclistas emblemáticos de la década de los 80 en Colombia. Su participación en competencias como el Tour de Francia, donde a sus 26 años alcanzó el primer lugar en la etapa 12 de la versión 72 del Tour de Francia en 1985 y el tercer puesto en la general del mismo certamen en 1988, ratifican su buen desempeño como profesional y lo ubican como el primer ciclista colombiano en subir al podio de dicho evento (1988).
Semejantes hazañas en la vuelta ciclística más relevante del mundo, quedaron indelebles en la mente de los colombianos.
Los triunfos de Fabio Parra no solo se dieron en territorio internacional. En Colombia, ganó la vuelta a Colombia en dos oportunidades: 1981 y 1992. Parra, estuvo en equipos como: Café de Colombia (1985-1987), Kelme (1988-1990) y Amaya Seguros (1991-1992).